Дроби – сложная для понимания тема, проблемы с которой возникают не только у детей, но и у взрослых. Но избежать знакомства с ней никак не получится: начиная с 5 класса, редкий урок математики будет обходиться без решения примеров и задач с дробными числами. Представьте себя на месте ребенка, который никогда не видел (а если и видел, то не понимал смысла)дробей. Конечно же, он не сможет выполнить с ними даже самых простейших математических действий.

Но если школьника подготовить заранее, процесс изучения дробей не вызовет сложностей. Главное – найти правильный подход и запастись терпением. А ещё важно подобрать правильную методику, которая поможет быстрее разобраться с дробями.

Дроби: с чего начать?

Начать нужно с повторения предыдущего материала. Если быть точнее – нужно вспомнить основные математические действия с целыми числами: сложение, вычитание, умножение, деление. Все эти знания формируются в дошкольном и младшем школьном возрасте, и без них решать примеры с дробями не представляется возможным. Если с этими действиями проблем нет, то нужно объяснить ученику, чем вообще являются дроби.

Говоря доступным для ребёнка языком, дробь – это часть чего-либо. Это самое "что-либо" может быть всем, чем угодно: тортиком, апельсином, начерченным на бумаге кругом. Иногда часть какого-то предмета называют долей. Но при этом суть понятия не меняется: этот самый предмет дробят, делят на части.

Понять значение этого действия гораздо проще на наглядных примерах. Так, можно взять пирог и разрезать (то есть разделить) его на несколько равных частей. Один кусок будет считаться одной долей от целого пирога. Если пирог разделён на четыре части, то один кусочек – это одна четвертая. Если на восемь, то одна восьмая часть.

Помните мультик, где герои делили апельсин?

"Мы делили апельсин.

Много нас, а он один.

Эта долька для ежа, эта долька для чижа..."

В этой нехитрой песенке как раз объясняется принцип деления на доли, или дробление. То же самое можно проделать с яблоком, плиткой шоколада или конфетами из вазы. Общее количество конфет – это целое, а одна конфетка – это часть.

Всё, что нужно знать о дробях

Есть несколько важных понятий, которые следует запомнить:

       1. Дробь не является целым числом, а обозначает количество частей целого.

       2. Дробное число всегда меньше целого.

       3. Чем на большее количество долей поделено целое, тем эти части меньше. И наоборот: чем меньше количество долей, тем они больше. Понять этот принцип будет проще по всё тому же пирогу. Если поделить его поровну между четырьмя друзьями, каждому достанется крупный кусочек. А если друзей не четверо, а, например, шестеро, то кусочки уже будут не такими крупными.

       4. Складывать и вычитать дроби можно только тогда, когда у них одинаковый знаменатель. Математические действия – сложение и вычитание – выполняется с числителями, а знаменатель остаётся неизменным.

Дроби: как это оформить?

Обыкновенная дробь – это понятие будет регулярно встречаться школьникам почти на каждом уроке математики, поэтому нужно сразу разобраться с тем, что оно обозначает и как используется на практике. Начнём со второй части: обыкновенная дробь используется для записи любого количества долей. Выглядит она как "двухэтажная" конструкция из двух чисел, разделённых горизонтальной чертой. Эта черта называется дробной и обозначает, что число разделили.

Верхний "этаж" называется числителем,

нижний – знаменателем.

Числитель – это число взятых частей от целого, а знаменатель – количество частей, на которое разделили целое. Кстати, знаменатель можно записывать не только внизу, но и справа от числителя после дробной черты. Например: 1/3 или 2/6 или 4/8.

А теперь снова вернёмся к нашему вкусному пирогу. Уже понятно, что разделить его можно между любым количеством друзей. Соответственно, число всех нарезанных кусочков мы запишем в знаменатель. А количество кусков, доставшихся, например, Пете, мы запишем в верхней части, то есть в числителе. Если пирог порезали на восемь частей, а Петя съел два из них, то запись будет выглядеть так: 2/8. А если поделить яблоко между двумя товарищами, то каждому достанется по одной второй, или ½.

Правильные и неправильные дроби

Наверное, вы уже обратили внимание, что во всех приведённых примерах числитель меньше знаменателя. Это называется правильной дробью.

Но ведь бывают и другие ситуации. Например, к Маше пришла в гости подруга Лена, и мама Маши решила угостить девочек фруктами. Одна достала из холодильника два яблока и, чтобы им было удобнее, разрезала каждое пополам. Получается следующее: одно яблоко разделено на две части, значит в знаменателе будет два. Один кусочек этого самого яблока – это одна вторая. То же самое и со вторым яблоком. А всего на тарелке лежит четыре кусочка.

Но только вот Лена не очень любит яблоки. Она съела всего лишь один кусок, а все остальные достались Маше. Получается, что на долю Лены пришлась ½ часть, а у Маши 3/2. Это и есть неправильная дробь,

то есть та, в которой числитель больше знаменателя.

Иногда в математических примерах могут встретиться ещё более странные записи: 1/1, 3/3, 5/5. Это тоже неправильные дроби, которые по сути не совсем соответствуют определению дробных чисел. И снова вернёмся к сочному и спелому яблоку и рассмотрим на его примере число 2/2. Знаменатель указывает на то, что яблоко разделено на две части, а числитель говорит о том, что Маша съела обе. То есть она съела всё яблоко, а это значит, что дробное число 2/2 = 1. Если пирог разделён на три части и все они достались Пете, то он смог полакомиться целым пирогом: 3/3 = 1.

Действия с дробями

В самом начале мы говорили, что горизонтальная черта в записи дроби означает деление. То есть числитель можно разделить на знаменатель. Рассмотрим пример с неправильной дробью 6/3. Мы 6 делим на 3 и получаем в ответе 2. Ещё один пример – 8/4: 8 делим на 4 и получаем 2.

В этих примерах в итоге получается целое число без остатка. Но бывает и по-другому, и называется это действие "выделение целой части".

Выделение у дроби целой части

Для примера возьмём неправильную дробь 7/2 и попробуем её разделить:

7 : 2 = 3 и 1 в остатке.

Выполним обратное действие и проверим правильность решения:

3 х 2 + 1 = 7

Теперь осталось записать. А делается это очень просто: целая часть записывается крупно слева от дроби, а сама дробь будет выглядеть как остаток в числителе и количество частей в знаменателе: 3 ½

Кстати, то, что мы сейчас получили, называется смешанной дробью. У неё есть целая и дробная часть. Но подобные действия можно выполнить только с неправильными дробями, у которых числитель больше знаменателя. В математике используется и обратное действие: перевод смешанной дроби в неправильную. Но эти действия, скорее всего, вы будете изучать позже – в 6 классе.

Сравнение дробей

А на данном этапе сосредоточимся на более простых задачках. Например, научимся сравнивать дроби. Сравнить их можно только, если они имеют одинаковый знаменатель. По правилам математики сравниваются числители.

Что больше – 1/5 или 4/5? Сравним числители и увидим, что 1 < 4, а значит 1/5 < 4/5.

А если в примере дробные числа с разными знаменателями? Тогда их сначала нужно привести к общему, а потом сравнить. Но это более сложная тема, требующая детального разбора. Как и другие примеры с умножением, делением, сокращением. А пока достаточно общего представления о дробях.