Делимость чисел: правила и лайфхаки
Делимость чисел: правила и лайфхаки
Делимость чисел и признаки делимости
Делимость числа – это возможность разделить его на другое число без остатка, иначе говорят – нацело.
В школе на уроках математики понятие делимость натуральных чисел (таких чисел, с помощью которых мы считаем реальные предметы окружающего нас мира) вводят в 5 классе, а также используют ещё некоторые понятия, которые нужно запомнить. Если одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка (нацело), первое число называют кратным второму. При этом второе число называют делителем первого.
Пример: нам нужно узнать, сколько делителей у натурального числа 48. То есть узнать, на какие числа 48 делится без остатка.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
Делители 1 и 48 найти просто.
Все числа делятся на 1 без остатка. В ответе получается то же самое число. Пример: 48 : 1 = 48
И все числа делятся на самих себя без остатка. В ответе получается 1. Пример: 48 : 48 = 1
Но как быстро найти остальные делители, а не действовать только методом подбора? В этом нам помогут признаки делимости.
Признаки делимости чисел
Признаки делимости можно сравнить с лайфхаками. Это такие математические подсказки, которые облегчают поиск делителей, пока вы ещё не начали выполнять деление. Признаки делимости, например, говорят, что нечётное число нельзя разделить на 2 нацело, потому что нельзя разделить его на равные половины, то есть в ответе не получится деление без остатка.
Назовём самые распространённые признаки делимости:
на 1. Каждое целое число делится на 1 нацело.
на 2. Число делится на 2, если оно оканчивается на чётное число или на нуль. Важно знать, что в математике нуль тоже чётное число.
Пример: 424 делится на 2 нацело, так как последнее число чётное; 50 делится на 2, так как оно заканчивается на нуль, а он чётный.
Пример: 72 111 делится на 3, так как при сложении цифр, из которых оно состоит, получаем число, которое делится на 3: 7 + 2 + 1 + 1 + 1 = 12.
Пример: – 300 делится на 4, потому что заканчивается на два нуля; – 416 делится на 4, потому что заканчивается на 16, а 16 делится на 4 без остатка.
Пример: – 70 делится на 5, потому что заканчивается на нуль; – 355 делится на 5, потому что заканчивается на пять.
Пример: 444 делится на 6, так как оно чётное, заканчивается на чётную цифру. К тому же суммируем цифры числа: 4 + 4 + 4 = 12. Эта сумма делится на 3 без остатка. Значит, все условия соблюдены.
Пример: – 5 000 делится на 8 без остатка, потому что заканчивается на три нуля; – 12 016 делится на 8, потому что последние три цифры образуют число 16, а 16 делится на 8 без остатка. 12016 : 8 = 1502. Та же ситуация с числом 8 136. 136 делится на 8 нацело. 8136 : 8 = 1017.
Пример: число 981 делится на 9, потому что сумма его цифр делится на 9 нацело. 9 + 8 + 1 = 18, а 18 делится на 9 без остатка.
Пример: 40, 500, 6 000, 210 000, 1 750 000 делятся на 10 без остатка. Если хотим разделить на 100, в конце числа должно быть не меньше двух нулей. Если на 1000, то в конце числа не меньше трёх нулей и так далее.
В 5-6 классах проходят признаки деления на 2, на 3, на 5, на 9 и на 10. Но и другие признаки делимости лучше знать, чтобы считать быстро и правильно.
Свойства делимости
Понятия признаки делимости и свойства делимости важно не путать. Признаки делимости подсказывают нам, как предугадать результат деления, не выполняя самого деления. Мы смотрим на цифры, из которых состоит число, и заранее можем сказать, что это число делится или не делится на нужное нам. Число 51 делится на 3, потому что сумма его цифр 6, но не делится на 5, потому что не заканчивается на 5 или на 0. Что нам говорят свойства делимости? Они говорят о том, что вообще можно или нельзя делить.
Например, всякое число, которое отличается от нуля, делится на само себя. Или – нельзя делить на нуль.
Вот ещё некоторые свойства делимости, которые часто пригождаются в школе:
– любое натуральное число без остатка делится на 1 и на само себя: 35 : 1 = 35; 35 : 35 = 1.
– если натуральное число d (например, 48) делится на натуральное число x (например, 8), а x (8) делится на y (например, 2), то d делится на y: 48 : 8 = 6; 8 : 2 = 4 – значит 48 делится на 2. Проверяем: 48 : 2 = 24.
– если x и y (например, 10 и 5) делятся на d (например, 5), то и их сумма x + y (10 + 5) делится на d (5): 10 : 5 = 2; 5 : 5 = 1; 10 + 5 = 15 – значит 15 делится на 5. Проверяем: 15 : 5 = 3.
Как нам доказать, что число делится на число? Нужно проверить себя, выполнив деление. Если в ответе получается нужное нам число без остатка, значит мы правильно применили те признаки и свойства делимости, которые изучили в данной статье.
Помним даже во сне
Лайфхаки относительно признаков и свойств делимости – вещь удобная, но важно не заглядывать каждый раз в шпаргалку, чтобы вспомнить о них, нужно, чтобы они сами возникали в голове. Нам говорят «дважды два четыре», и мы не ищем это в таблице умножения, а просто знаем, даже если очень устали или увлечены другим делом.
Чтобы достигнуть такой степени автоматизма, когда нужные знания сами всплывают в голове в нужный момент, заходите на образовательную платформу iSmart, выбирайте Математика. 5 класс, раздел о делении натуральных чисел и признаках делимости. Здесь вы найдёте задания на отработку основных признаков делимости чисел, которые система предложит вашему ребёнку для быстрого и эффективного усвоения темы. Если он что-то забыл, вам не нужно сидеть рядом – система сама подскажет, как нужно рассуждать, чтобы правильно выполнить задание.
Удобная для современного ребёнка работа на онлайн-платформе – также важный аргумент в пользу iSmart. Если вы выбираете для своих детей продвинутые и проверенные профессионалами формы подачи образовательного контента, добро пожаловать к нам.
Читать также
